Nếu M {\displaystyle M} là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do M {\displaystyle M} là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm p , q ∈ M {\displaystyle p,q\in M} như là infimum của các độ dài cung nối p {\displaystyle p} và q {\displaystyle q} .[4] Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với M {\displaystyle M} .[5]